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    数学的美那可不得了，美在什么呢？美在它的对称和谐，美在它的跌宕起伏，美在它的波澜壮阔，美在它的茅塞顿开，美在它的一题多解，美在它的多题一解，甚至美在它的小题大做。

    其实数学远不止这些，它与现实生活也是密切相关的，它的应用非常广泛。先不说具体的现实生活，先说说数学与美术。达?芬奇有一幅著名的画《最后的晚餐》，我通过研究发现，这幅画竟然是用数学的远近法原理来画的。那个远近法原理，是要有一个基点的，那个基点，恰好就在耶稣的两只眼睛上，所以你看达?芬奇，既是一个画家，又是一个很著名的数学家。还有一幅很著名的画，叫《清明上河图》，这幅画给人的感觉是，看见树木便现森林，看见河流便现大海，你知道利用了什么原理来画的吗？它也是用数学远近法原理来画的。我们知道现实生活中，经常提到一个词“黄金分割”，什么叫黄金分割呢？它是数学上的一个非常独特的数据，这个数据是这样来的：一个矩形，如果它的宽和长相比，得出的数据是0?618，这个矩形看上去就最好看，而且这个矩形的结构最合理。于是把0?618这个数，就叫黄金分割数。0?618这个数挺好玩的，把它放到分母上，分子是1，结果恰好是1?618。这个黄金分割在现实生活中有广泛的应用，包括在一些优选法中，这个数字太活跃了。我问大家一个问题，为什么女孩愿意穿高跟鞋呢？大家可能感觉穿上高跟鞋漂亮，但是漂亮的原因是什么呢？有些人说穿上高跟鞋，走起路来那种风姿绰约的感觉挺动人，还有一种飘飘欲仙的感觉。其实不是这样的，女孩穿高跟鞋好看的原因就是一个，实现了黄金分割。就是说一个人，如果她的上半身和她的身高之比，能够达到0?618的话，效果是最好的。但是一个人的上半身和她的身高之比，往往达不到0?618，如果穿上高跟鞋，高度一增加，上半身和身高的比，恰好能达到0?618，她的体形看上去就特别和谐，视觉的冲击就特别大。有这样的一个题目，好像看似不太可能，其实就是一个数学问题。你看一张纸，我对折一次，纸就变厚了，厚度增加了1倍，我对折两次，它的厚度是原来的4倍，我再对折一次，这张纸厚度成倍增长。我问个问题，要是把这张纸对折64次的话，这张纸的厚度有多高？大家可以放开去猜，胆子有多大，都可以猜。我告诉你一个让你感觉不太可能的数据，这个高度恰好是地球到月亮的高度，就这么厉害。所以你看，我们国家研发神六、神七到太空去探月，其实我上太空吧，不用这一套，我拿这一张纸，折叠64次，我就上去了。我这个数不是虚的，你可以用等比数列算出来。数学的这种超凡脱俗的美，确实令人震撼，每一个喜欢数学的人，我相信都能够体会到。对称就是体现数学的和谐之美的一个方面，像北京这个城市，天安门、故宫在它的中轴线上，东西依次相互展开，形成了一个非常和谐的城市。在2008年奥运会上大家看到，焰火顺着中轴线，一步一步到鸟巢，也是落在中轴线上。数学的跌宕起伏之美，体现在它对一个人思维跨度的要求，特别是当你在苦苦思索中，突然眼前一亮，找到了解题的思路，那种对灵魂的巨大冲击，可以让一个人心情久久难以平静。

    再有就是茅塞顿开之美，凡是比较好的数学题目，往往都稍有些难度，当我们通过认真思考，突然找到它的答案，就会感受到一种豁然开朗的美。

    还有它的一题多解之美，有时候一个看似很平常的题目，但是可以找出七八种解法，而且每一种解法都隐含着一个非常美妙的技巧。

    再一个就是多题一解之美，数学可谓题海无边，但是只要注意归纳，就会发现，数学中的许多题目都是可以归类的，万变不离其宗。

    还有小题大做之美，本来这个题目看似很小，但是就像一个金矿的入口一样，背后潜藏着一个巨大的金矿，你一旦把窗和门打开，在你面前就是一座宝藏。在教学中有些内容，按照教学大纲的要求，可能只讲一节课，但我可以就这个问题，展开讲一周，甚至讲好几周。因为这个题，引发了我的一些情怀、一些感慨，竟然能够把整个数学都覆盖得到。我举一个小小的例子，这是过去数学课本上的一个题目，大家都觉得这种题目难度不大，而且也很基本。但就是这样一个题目，却潜藏着非常丰富的数学思想和数学方法，以至于让我讲了整整两周。

    这是过去中学课本上的一个题8－2x2－x＞-1，因为这道题很基本，所以大家都会做。一般的做法就是，把x移到右边，因为这个不等式里边，最讨厌的就是那个根号，它是一个无理的东西，所以我为了处理这个根号，就把相关的闲杂人员全处理到右边去，把这个比较难对付的根号孤立起来。下面要采取的方法是去掉根号，但是如何去掉根号呢，得考虑这个不等式两边的非负性。于是就出现了这个不等式，一方面是，8－2x2≥0，保证这个根号下不是负数；另一方面是，x－1≥0，保证两边非负。在这个情况下，两边平方得到8－2x2＞(x－1)2，这是得到的第一个不等式。第二个不等式，还是8－2x2≥0，因为根号下必须保证不能是负值，但是这个x－1，它当然可以是负的，所以第二种情况x－1＜0，那么我们看到，只要是这两个不等式同时成立，原不等式肯定是成立的。于是原来不等式的解，就是这两个不等式组解集的并集。分别把这两个不等式解出来，然后一求并集，答案就出来了，这就是这个题的常规解法。

    我想几乎所有的学生都会采用这种解法，而且解完之后都感觉到完成任务了。其实这个题中间潜藏着一些伟大的数学思想和数学方法，可是用第一种解法没法儿发现。如果学数学仅满足于这种解法，就会陷入一种套路式、教条式的模式，很难了解到数学的波澜壮阔。我现在构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x－1，那么大家看，刚才这个问题就变了，变成这两个函数，谁比谁大的问题。大家注意，第一个函数，它是椭圆的上半部分，第二个的图形呢，它是一条直线，那么这个问题就变成了这条直线和椭圆相交，然后只要看看那两个图像的交点，就把这个题很简单地解出来了。本来是一个解不等式的问题，但是构造两个函数之后，通过求解交点，就转化成一个等式的解法，这是数学中的一个巨大的变化。大千世界相等是短暂的，不等是永恒的，但是利用了这种函数思想，就能够抓住相等的那一刹那，解决永恒的不等的问题，它的智慧就在这儿。第二种方法简洁，解法正确率高，更重要的是，这第二种解法体现出数学的一个非常重要的思想，就是数形结合。如果这个题再做变化，比如说我要是把那个-1，偷偷地换成一个a，那么你会发现，刚才提供的第一种解法，就无能为力了。因为那个a是啥呢?这个讨厌的a，它变化多端，每一次变化都给这个不等式的解法带来灭顶之灾，但是你要利用第二种解法，那么这个问题就好解决了。构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x+a，刚才讲过，y=8－2x2，它其实就是椭圆的上半部分，y=x+a是一组平行直线，它的斜率是1，随着a的变化，那条直线在不断地变化。这个题在高考中，应该是一种比较有难度，而且也非常常见的题目，就是分类讨论。我们通过这个图形一看，就可以分成四段来讨论，一目了然。通过这个题，我们可以看到，方程是数学上非常核心的概念，可以在函数的观点下，和不等式统一起来，这就是函数在数学中的重要性。一方面，要解决的具体问题一旦归结为函数，就可以把一些局部的问题，拿到高瞻远瞩的全局上去解决，所以局部的问题就变得很简单；另外，能够把静态的问题，放到波澜壮阔的动态的过程中去研究，使问题变得简单，比如说那个解不等式的问题。有了这样的一个背景，这个题可以随意变。通过观察图像，得出了a<-2时，它的解是什么；-2≤a＜2时，它的解是什么；2≤a＜2 3时，它的解是什么；最后a≥2 3时，它的解集是空集。顺着这个题，我现在逆向思维，不让你解这个等式，而是已知这个不等式的解集为[-2，2]，求a的范围。那么大家再看刚才那个图，这个不等式的解集是[-2，2]，就是说在[-2，2]这个区间，这条抛物线始终应该在这条直线的上方。从图上一看，答案不用动手就出来了，是a＜-2。如果这个题不是通过这样的一种方法来做的话，那就难上加难了。我再进行第二变，刚才不是解这个不等式吗，现在不解不等式了，换一个什么呢？已知这个方程8－2x2-x=a，说这个方程恒有解，求a的范围。这个题目和原来那个题相比，其实就是一个符号之差，原先是个大于号，我现在变成个等号，这两个题目的背景和解题的氛围，就发生了很大的变化。但当你考虑函数的背景时就会发现，这两个题目完全是同一种题目。还是看刚才那个图，这个方程恒有解，不就意味着那条直线和那个椭圆恒有交点吗？我们观察图像可知，当-2≤a＜2 3这个范围内时，直线和椭圆恒有交点，根本不用计算。但我可以告诉你，这个题是有一年高考的一个很难的题目。还有更精彩的，现在我不是说这个方程有解了，而是说这个方程有两个不同的解，求a的范围。这不同的解就意味着这条直线和这上半个椭圆，得有两个不同的交点，看看图就一目了然了。于是这个题目的答案又得到解决。我们还可以继续变，若是在[-1,1]内有解呢，求a的范围，这个答案也很好找出来。再看一个题，还是各种复习材料上都会有的一个题目：