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第二章 在家里学数学“无限”是什么

    一个母亲曾给我写过一封很好的信，信中描述了她6岁的儿子关于数字的思考和问题。他的一个问题是：“紧挨着无限的是什么数？”我想了想这个有趣的问题，回答说，“无限”之前没有数字。孩子们觉得“无限”本身好像是一个数字，但事实不是这样。“无限的”这个词的意思是“无尽头的”或“无穷的”。你无法抵达一个尽头或边缘，因为根本就没有这样一个东西存在。不管你走多远，总可以继续走下去。对一个6岁的孩子，甚至是成年人来说，这或许并不是一个容易的概念。   
    家长或是数学家们会说，整数的集合中(比如1、2、3、4、5等)没有最大数。不管你想出来多大的一个数字，你总能再加上某个数字，或乘以某个数字。数学家并不管这样的整数集合叫做“无限的”而是“超限数” 。   
    在卡斯特纳和纽曼合著的一本很出色的叫做《数学与想像》的书中，有一章论及“超限数”，写得很好，可惜这本书已经绝版了。我们了解到，一个超限类，比如偶数集合，是与另一个集合，即全体整数的集合一样大的。这听上去有些丧失理智，因为整数中还有一半是奇数。我们说当一个集合的数字和另一个集合的数字一样多时，就意味着第一个集合里的每一个数都能在第二个集合里找到一个而且是惟一的一个数和它对应。每一只右脚的鞋都可以找到一只也是惟一的一只左脚的鞋和它相配，那就是说有多少只右脚的鞋，就有多少只左脚的鞋，即使我们并不知道具体的数目是多少。整数集合里的每个数字1、2、3……我们都可以用这个数乘以2，得到惟一的一个和它对应的偶数。1对应2，2对应4，3对应6，4对应8，5对应10，等等，可以一直做下去。所以我们可以说这两个集合数目相等。   
    这里有一个绝妙的证明，数学家称之为“优雅”(elegant)(的确如此)，就是说分数集合中的分数数目和整数集合的数目相等。这真是令人难以相信，因为在任意两个整数之间你可以放置无穷多的分数。另一个优雅的证明是，小数集合中的数目大于整数集合。   
    数学家们对此做了大量的研究工作。格奥尔格•康托发现某些超限数比其他的数字大。的确，我认为他找到了四五个不同的超限数，每一个都大于前面的一个。整数集合最小，小数集合次小，最大的是整个的函数集合。   
    这些对一个6岁的小孩(或任何人)来说是很难掌握的。如果孩子问到无限时，你可以向他稍作解释并试试他的反应。如果他把头转开去看别的东西，那就是够了。无论如何，谈到这个概念时我们要说“无限的”，而不是“无限”。数学中的无限没有特定的数字，有的只是形容词“无限的”，意思是我前面讲过的，没有尽头或边际。

第二章 在家里学数学秘密的数学游戏

    我的头四年学生生活是在一个很传统的学校度过的。它用纯粹背诵的办法教数学，把我们当成鹦鹉，或是会说话的实验室动物。我不记得有哪个老师曾经和我们探讨过数学的概念，或教我们玩数学游戏。他们的工作内容就是教给我们“算式”，向我们演示怎么解题目，然后布置作业、判作业，并让我们做练习、考试。   
    但正像我们小孩有自己秘密的游戏世界一样，我们也有秘密的数学世界。学校里流行着很多的数学戏法和游戏，这当然是不被老师所鼓励的，甚至都不能让他们发觉。我们经常在班上或是在自修室里面躲在课本后面玩这些游戏。   
    其中一个游戏叫做“猜数”。学生甲找到学生乙，最好还有学生丙、丁、戊在旁边，下面的谈话开始了：   
    甲：你现在想好一个数字，别告诉我，但你自己把它记好。   
    乙：好，我想好了。   
    甲：千万别忘了！   
    乙：别担心，我不会的！   
    甲：现在把它加上3——不过别告诉我答案。   
    乙：好了。   
    甲：现在加上10。   
    乙：好了。   
    甲：现在拿走7。(我们不说“减去”，虽然老师是这么教的。)   
    乙：好。   
    甲：现在加上5。   
    乙：好。   
    甲：现在拿走你一开始想到的数字。   
    乙：好。   
    甲：(胜利地宣布)答案是11！   
    这时丙、丁和戊可能会来挑战甲，让他再来一遍这个戏法。甲重复做了几次都没有出现任何纰漏，于是他们开始相信他真的是行家里手。于是他们会走开，摇着头百思不得其解。或者他们会央求着让甲教他们变这个戏法。   
    我还没见过哪个孩子真会教给其他孩子这个戏法的诀窍。不过每年每批孩子都能自己想明白。当新的一批学生进入学校后，该轮到他们被捉弄了。   
    就我记忆所及，“魔术师”当中没有谁把这些步骤写下来。给出数字的过程都是在脑子里进行的，一次一步。步骤越多，最后我们报出来正确得数的时候，别的孩子会越迷惑不解。   
    偶尔地，或许就是“魔术师”自己，虽然把过程烂熟于心，还是会在加加减减的时候出错，导致最后得数不对。于是紧接着就会爆发一场激烈的闹哄哄的争论，一般会随着“魔术师”要求重新来一遍而平息。如果答案连着错了两三次，“魔术师”会坚持说这是因为对方算得不对，然后换人来做。因为通常对方是比“魔术师”小的孩子，大家也就很容易地接受这种说法。   
    我猜想对于那些刚刚开始学习加法的孩子来说，这个戏法真是太好玩了。   
    还有一个我和伙伴们在学校常玩的数学游戏，它和数学老师没关系，他们甚至都没有听说过。这个游戏是要写下来的。这需要花些时间，还要小心，不要当场出丑。   
    在一张纸上画上方格。我们当时没有坐标纸，所以得自己拿尺子打格子。一般10×10见方的格子足够大了，不过有时候一些更复杂的造型需要再大一些的纸。   
    然后在格子纸上我们开始画图形，从一个格子和另一个格子的交汇点开始，用直线连接到另一个交汇点，持续下去直到图形完成。可能是一只狗，或是帆船，或是飞机，或者就是一个简单的形状。以“狗”为例，我们在格子纸的左边开始，从狗鼻子画起。然后说：“向右上方两格。”我们便得到第二个点。然后说：“向右下方两格。”第三个点出现了。然后：“向右四格。”这样继续直到“狗”的形象完成，如图所示：   
    现在，好玩的部分开始了。我们再画一张10×10的格子纸，但这次的格子画得要么大点，要么小点。在这张纸上我们完全按照上次的步骤，从起始点开始，向右上方两格……直到图形完成。然后我们比较这两张图，我们总是非常惊奇地发现新图形和旧的看上去完全一样，只是大小不同。这简直是个奇迹。我们画了又画，每一次都会为那个形状一模一样只是尺寸相异的图形感到惊讶和兴奋。   
    由于我们“理应”做正常的算术作业，而且要小心地把格子纸收藏好以防老师发现，我们无法用很大尺寸的纸来画。如果老师知道并且会鼓励我们做这个游戏，我们本来可以把极小的图形放大到其大无比，甚至用那种几乎能把整面墙盖住的纸来画，那该多让人兴奋啊！    
    我不记得是否有人曾经想过在格子纸的底边和左边标上数字，或是想到可以用这些数字来定位纸上的每一个点，像这样：   
    你可以画出一个图形，然后不用告诉另一个人别的什么，只需给他一些数字，他就能画出和你画的一模一样的图形。这主意太棒了，简直就是另一个奇迹。   
    通过这个游戏，你可以很容易地向孩子们引入比例尺绘图的概念。比例尺绘图就是用纸上的一段距离代表实际的距离：比如1英寸代表1英尺，或1英寸代表100英里。从这里我们可以进入建筑制图的领域——我经常想许多孩子一旦懂得了制图是怎么回事，他们会兴致勃勃地给自己的房间或是住宅绘制图纸。我们的游戏也有助于孩子掌握解析几何、坐标方程的基本概念，以及其他学生们要等到高中才会接触到的有意思的概念。但到那时恐怕为时已晚，因为除了少数学生，大多数人已经变得厌恶或害怕数学了。